Przejdź do treści

Nowa stała matematyczna!

W encyklopedii ciągów całkowitoliczbowych i stałych matematycznych oeis.org (https://oeis.org/) pojawiła się stała Wolfa-Kawalca o wartości 1.0438945… Profesor Marek Wolf jest profesorem nadzwyczajnym na UKSW, pracuje w Instytucie Nauk Fizycznych. Specjalizuje się w zakresie teorii supersymetrii, teorii pola kwantowego, fraktali, strun oraz liczb pierwszych. Jest również członkiem rady redakcyjnej metod obliczeniowych w nauce i technologii. Artur Kawalec mieszka w USA i dobrze mówi po polsku. Jest inżynierem w firmie zajmującej się projektowaniem półprzewodnikowych układów scalonych do łączności radiowej w pasmie mikrofalowym. Jego hobby to kwantowa teoria pola, ogólna teoria względności i teoria liczb. Stała Wolfa-Kawalca związana jest z pewną modyfikacją szeregu harmonicznego.

Już w średniowieczu udowodniono, że szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności. Leonard Euler pokazał, że suma wyrazów do pewnego n zachowuje się jak ln(n), różnica między sumą 1+1/2+1/3+…+1/n a ln(n) dąży w granicy przy n dążącym do nieskończoności do liczby oznaczanej grecką literą gamma i nazywaną stałą Eulera-Mascheroni, jej wartość to 0.5772156649… Obecnie wyliczono ponad 600 miliardów cyfr tej stałej. Jest to jedna z najbardziej tajemniczych stałych: nie tylko nie wiadomo, czy jest liczbą przestępną, ale nawet nie wiadomo, czy jest liczbą niewymierną. Używając komputerów pokazano, że jeżeli stała Eulera jest wymierna, to mianownik jest większy niż 10242080.

Prof. Wolf rozważał „przerzedzony” szereg harmoniczny: sumował odwrotności liczb bezkwadratowych, czyli takich, które nie dzielą się przez kwadrat jakiejś liczby. Jego szereg miał postać: 1+1/2+1/3+1/5+1/6+1/7+1/10+1/11 +…, czyli brakuje 4, 8, 9, 12, … a w mianownikach występowały liczby będące iloczynami liczb pierwszych w pierwszej potędze. Można przewidzieć, jak taki „przerzedzony” szereg harmoniczny rośnie do nieskończoności wraz z liczbą sumowanych wyrazów. Prof. Wolf policzył na komputerze sumę po odwrotnościach liczb bezkwadratowych w ciągu 30 godzin do 20 miliardów i otrzymał wartość stałej analogicznej do stałej Eulera z dokładnością 7 cyfr: 1.0438945. Artur Kawalec znalazł analityczny wzór na tę stałą wyrażony przez inne stałe matematyczne pozwalający na obliczenie praktycznie dowolnej liczby cyfr. Wzór ten wskazuje, że stała ta jest liczbą przestępną (transcentalną). Stała Wolfa-Kawalca jest pod adresem https://oeis.org/A368551

01 lutego 2024